CONSTRUYEN EL PRIMER ORDENADOR CON NANOTUBOS DE CARBONO

http://www.abc.es/ciencia/20130926/abci-construyen-primer-ordenador-nanotubos-201309261009.html

En una búsqueda de nuevos materiales que sustituyan al silicio para crear equipos electrónicos más eficientes, ingenieros de la Universidad de Stanford (EE UU) han logrado construir por primera vez un ordenador hecho íntegramente con transistores de nanotubos de carbono (CNT, por sus siglas en inglés).

Se trata de un dispositivo todavía muy básico, pero que incluye un sistema operativo y es capaz de ejecutar varios programas al mismo tiempo.

Los autores del proyecto, cuyos resultados se publican en el último número de Nature, señalan que este avance culmina años de esfuerzos por parte de científicos de todo el mundo para aprovechar este prometedor pero peculiar material.

Según explica a SINC Max Shulaker, autor principal del trabajo, “los nanotubos de carbono representan un importante avance respecto a los actuales transistores de silicio y prevemos grandes mejoras tanto en el rendimiento como en la eficiencia energética”.

Más finos que un cabello

 

Los nanotubos de carbono son largas cadenas de átomos extremadamente eficientes en la conducción y el control de la electricidad. “Son tan finos que miles de ellos podrían caber unos junto a otros en un cabello humano y requieren muy poca energía para apagarlos”, indica.

Shulake añade que el trabajo demuestra que es posible fabricar nanotubos de carbono, pese a que esta tecnología tiene aún imperfecciones inherentes. “Sin embargo, nosotros hemos logrado superar estos obstáculos y presentar el sistema basado en carbono más avanzado hasta la fecha”, subraya.

Entre las dificultades que tiene trabajar con este material destaca que los nanotubos de carbono no crecen en líneas paralelas, como a los fabricantes de chips les gustaría. Otro problema es que una porción de estos nanotubos pueden acabar comportándose como cables metálicos que siempre conducen electricidad en vez de comportarse como semiconductores que pueden apagarse, señala la Universidad de Stanford en un comunicado.

Para superar estos obstáculos, el equipo llevó a cabo un diseño que llamó “inmune a imperfecciones” que consistió en eliminar los nanotubos que se comportaban como cables. Luego apagó todos los CNT ‘buenos’ y bombeó el circuito semiconductor lleno de electricidad.

Toda esa electricidad se concentró en los nanotubos metálicos, que se calentaron tanto que se quemaron y, literalmente, se vaporizaron convirtiéndose en dióxido de carbono. “Esta sofisticada técnica eliminó todos los CNT metálicos del circuito”, indican estas fuentes.

“Evitar los nanotubos desalineados requirió aún mayor sutileza”, señalan los autores. Para ello, los investigadores crearon un potente algoritmo que traza un esquema del circuito y que garantiza que funcione sin importar si los nanotutbos están o no torcidos.

Los ingenieros utilizaron este diseño inmune a imperfecciones para ensamblar un ordenador básico con 178 transistores, un límite que vino dado por que utilizaron las instalaciones de la universidad, en vez de un proceso de fabricación industrial, aclaran.

Contar y ordenar números

 

El ordenador fue capaz de realizar tareas como contar y ordenar números. Además, incorpora un sistema operativo básico que permite llevar a cabo intercambio de esos procesos. Para mostrar su potencial, los investigadores probaron que el dispositivo también podía ejecutar una instrucción comercial denominada MIPS (Microprocessor without Interlocked Pipeline Stages), desarrollada a comienzos de la década de los ochenta del siglo pasado por John Hennessy, ingeniero y actual presidente de la Universidad de Stanford.

Por su parte, Franz Kreupl, investigador de sistemas electrónicos híbridos de la Universidad de Munich (Alemania) y autor de una reseña sobre el proyecto, que también ha sido publicada en en Nature, indica que trabajos tanto teóricos como experimentales “han demostrado que los nanotubos de carbono son los interruptores electrónicos de mayor eficiencia energética con una escalabilidad muy por debajo de los 10 nanómetros”.

En su opinión, el trabajo de Shulaker y su equipo es muy valioso, ya que ha podido superar las dificultades que tiene trabajar con nanotubos de carbono y construir el primer ordenador funcional con este nuevo material emergente, “muy superior en este tipo de aplicaciones a competidores como el grafeno”.

Para concluir, los autores del trabajo señalan que la demostración del nuevo dispositivo confirma que los nanotubos de carbono son una tecnología factible para desarrollar la próxima generación de sistemas electrónicos de alta eficiencia energética.

SEMICONDUCTORES FLEXIBLES PARA DOBLAR LA ELECTRÓNICA

http://sociedad.elpais.com/sociedad/2013/09/24/actualidad/1380048201_151335.html

Cualquiera que lleve el teléfono móvil en el bolsillo trasero del pantalón apreciaría la comodidad que supondrían los dispositivos electrónicos flexibles, sostienen unos expertos de California que han dado un paso adelante hacia los materiales semiconductores plásticos que puedan doblarse y estirarse pero comportándose como los buenos materiales semiconductores, que son rígidos y quebradizos. La electrónica flexible, añaden los investigadores de la Universidad de Stanford, podría desembocar en un abanico de nuevos productos, desde tejidos con cableado para hacer ropa que enfríe o caliente a quien la vista, o tabletas que se doblen como un periódico.

La investigación sobre polímeros semiconductores no es una novedad. Muchos expertos están intentando crear plásticos que se puedan doblar y estirar sin que resulte mermada su capacidad superconductora. “Pero a nivel molecular, los polímeros parecen un plato de espaguetis y esas estructuras no uniformes tienen importantes implicaciones en las propiedades conductoras de los polímeros semiconductores”, explica el ingeniero químico Andrew Spakowitz, de la Universidad de Stanford. Este experto, su colega Alberto Salleo, y Rodrigo Noriega (Universidad de California en Berkeley) han desarrollado lo que ellos consideran el primer marco teórico que abarca las inhomogeneidades estructurales a nivel molecular de los polímeros semiconductores, lo que permite comprender, predecir y mejorar sus conductividad.

El problema, explican estos expertos, es que los semiconductores poliméricos tienden a conducir la electricidad de modo diferente en distintas partes del material, una variabilidad que depende precisamente de si las fibras del polímero están enrolladas como espaguetis cocidos o forman líneas relativamente uniformes, aunque se curven. “En otras palabras, la estructura entrelazada que permite a los plásticos y otros polímeros doblarse es lo que dificulta la conducción eléctrica, mientras que la estructura regular de los semiconductores de silicio los hace ser buenos dispositivos eléctricos, pero malos para llevarlos en el bolsillo trasero del pantalón”, resumen los expertos de Stanford. Su modelo teórico permite abordar la solución intermedia entre flexibilidad y conductividad.

Hasta los años setenta, los plásticos se consideraban, desde el punto de vista eléctrico, no conductores, de ahí su gran utilidad como aislantes para los cables, por ejemplo. Pero entonces Alan Heeger, Alan MacDiarmid y Hideki Shirakawa descubrieron los polímeros semiconductores, materiales que en determinadas condiciones pueden conducir la electricidad, y los tres científicos compartieron el Premio Nobel de Química en 2000.

Pero una cosa es transmitir la electricidad y otra hacerlo eficazmente. Los experimentos han mostrado que esos polímeros presentan anomalías en el flujo de electrones por el material. Y esa variabilidad, argumentan Spakowitz Salleo y Noriega, se debe a que, debido a la estructura de las cadenas moleculares del material, crea como vías rápidas y puntos de congestión para los electrones. Es como si una cadena polimérica siguiera una configuración relativamente recta hasta un punto donde se torciera en forma de U, como una horquilla, y los electrones se atascaran en esa curva cerrada antes de saltar a la otra recta.

“Las teorías anteriores de flujo eléctrico en polímeros semiconductores están básicamente extrapoladas de nuestra comprensión de los semiconductores metálicos e inorgánicos, como el silicio”, señala Spakowitz, mientras que ellos han abordado directamente a escala molecular el transporte de electrones en esos materiales plásticos. Con su teoría, simplifican las propiedades estructurales y electrónicas de los polímeros semiconductores a un pequeño número de variables.

NÚMEROS CUÁNTICOS PARA CASINOS VIRTUALES

http://blogs.elpais.com/apuntes-cientificos-mit/2013/06/la-ciencia-es-m%C3%A1s-interesante-que-el-sexo-.html

     Lo que veis a vuestra derecha son dos células fotovoltaicas transparentes. Me las mostraron en el Instituto de Ciencias Fotónicas (ICFO) en Barcelona; un impresionante centro cuyo objetivo es comprender (ciencia) y aprovechar (tecnología) todos los aspectos relacionados con la luz que podáis imaginar. 

 

     De momento estas células fotovoltaicas transparentes resultan menos eficientes que las convencionales, y son todavía bastante costosas. Pero no dudéis ni un minuto que algún día dejarán de serlo, las tendréis recubriendo vuestro coche o filtrando luz de manera inteligente en las ventanas de los edificios, y la energía solar contribuirá a sustituir esta salvajada de ir quemando combustibles fósiles a discreción.

     De verdad; no sé decirte si esto ocurrirá en 10, 20 o 40 años. Pero ten por seguro que en un futuro no tan lejano explotaremos los recursos naturales de manera absolutamente sostenible, habremos erradicado la pobreza extrema, trabajaremos muchas menos horas (esto ya deberíamos empezar a pensarlo ya), y curaremos enfermedades que ahora generan enorme sufrimiento. Sucederá. No pierdas la perspectiva del avance científico, ni el impacto del cambio exponencial.

Nanopartículas para quemar cánceres

     Romain Quidant me habla de sus nanopartículas de oro que potencialmente podrían identificar células cancerígenas y quemarlas. 

     El proceso es conceptualmente sencillo: a nanopartículas inertes (de oro por ejemplo) se les añade un anticuerpo capaz de reconocer estructuras específicas de las membranas de células cancerígenas, de manera que al distribuirse por el organismo se enganchen sólo a ellas. Pero estas nanopartículas llevarán algo más: “algo” que reaccione y las caliente mucho cuando les llegue una luz (radiación) determinada.

     Resumiendo, el concepto es así de simple: se inyectan las nanopartículas al torrente sanguíneo, al cabo de un tiempo quedan enganchadas sólo a las células cancerígenas, y enviándoles radiación podremos hacer que se calienten hasta destruirlas. 

     Obvio que además de limitaciones técnicas habrá preocupación por su toxicidad, pero Quidant dice que no serán más tóxicas que la agresiva y contradictoriamente tan asumida quimioterapia. Y no es ciencia ficción; su grupo del ICFO ya ha diseñado nanopartículas, están trabajando con modelos animales y oncólogos de Barcelona, y explica que una experta de Texas ha empezado estudios clínicos con humanos. Comenta que la nanomedicina (enviar cosas a sitios del cuerpo para que realicen funciones específicas) está avanzando mucho, pero que no todo se publica en revistas científicas por los asuntos de propiedad intelectual y patentes que conlleva. 

La lenta Europa intenta recuperar terreno en el grafeno

     Algo parecido ocurre con el grafeno. El holandés Frank Koppens es uno de los grandes líderes del momento en este asombroso material que permite construir capas tremendamente resistentes (un elefante sobre una aguja de grafeno no la rompería), súper-conductoras, y al mismo tiempo ligerísimas y finísimas de sólo un átomo de grosor. Las propiedades de los materiales bidimensionales como el espectacular grafeno son únicas, y sus posibles aplicaciones en baterías, técnicas de imagen, salud, energía, estructuras ligeras y resistentes, detectores, pantallas, y todo tipo de aparatejos electrónicos, interminables. Es parte del futuro.

     La Comunidad Europea ha diseñado una hoja de ruta y dedicado 1000 millones de euros a su estudio, quizás por darse cuenta que a pesar de ser descubierto en Europa y empezado a desarrollar por investigadores europeos, en estos momentos en cuanto a patentes está muy por detrás de EEUU o Asia.

     “Asia and US have many more patents. Actually, it’s embarrassing” (vergonzante) dice Frank. “I think it’s a matter of mentality”, responde cuando le pregunto porqué Europa se quedó atrás.

     Científicos españoles tan reivindicativos de la investigación básica, tomad nota también de esto. Para generar verdadero valor en la ciencia debemos recorrer el camino completo, empezando evidentemente por el principio, pero avanzando hasta el final.

La bomba atómica desde dentro de Los Álamos

     Seguro que el grafeno tendrá aplicaciones militares también. No olvidemos que el presupuesto de investigación científica del departamento de defensa estadounidense (DARPA) es mayor que el de la NASA, el National Institutes of Health (NIH) y la National Science Foundation (NSF) juntos. 

      De hecho mi visita al ICFO coincidió con una charla del premio Nobel de Física Roy Glauber, quien hace más de 60 años trabajó en Los Álamos en el proyecto Manhattan que generó la bomba atómica. Glauber explicó que unos años antes, físicos teóricos haciendo ciencia básica totalmente inocente habían descubierto que los átomos de Uranio desprendían bastante energía al fisionarse. Vieron luego que si se les bombardeaba con átomos de Bario lo hacían con mayor facilidad, y que curiosamente había un isótopo del Uranio (el U²³⁵) que era menos abundante pero podía fisionarse todavía más fácilmente con neutrones. Además, también descubrieron que al desintegrarse el propio U²³⁵ liberaba neutrones que –en caso de estar muy concentrado- podían empezar una peculiar reacción en cadena. Todo era muy interesante, se presentaba en conferencias científicas, salía en los medios… hasta que de repente dejó de hacerlo y pareció caer en el olvido. 

     El gobierno estadounidense reclutó científicos en absoluto secreto y construyó los laboratorios de Los Álamos que iban a explorar las posibilidades de esta tan energética y potencialmente destructiva reacción en cadena de fisión nuclear. 

     Glauber explicó que cuando le propusieron el trabajo no le explicaron dónde sería ni de qué trataría, que los jefes hablaban en código entre ellos, o que Niels Bohr utilizaba el nombre falso de Nicholas Baker. Sus comentarios sobre el ciclotrón desaparecido de Harvard, conferencias con títulos “The theory and practice of bombing”, y los relatos sobre las personalidades de Feymann, Teller, Fermi u Oppenheimer fueron historia viva de la ciencia. Fascinante.

  

Números cuánticos para casinos virtuales 

     Antonio Acín estudia información cuántica pero reconoce que los lejanos ordenadores cuánticos no son su primer interés. Él está metido de lleno en la criptografía cuántica, viendo nuevas maneras de codificar la información sin que ni los mejores hackers puedan interceptarla (algo que ya ocurrió con los primeros dispositivos comerciales).  

      Antonio me habla también de sensibilidad y de detectar ondas gravitacionales gracias a fluctuaciones cuánticas, pero lo que me resulta más curioso es la utilización de cálculos cuánticos para crear números aleatorios. Pone como ejemplo que los programas informáticos de un casino virtual generan números aleatorios con complejísimos algoritmos que resultan prácticamente indetectables. Pero no es del todo imposible hackearlos. Al final se trata de un sistema clásico guiado por reglas complejas, pero establecidas. No son 100% aleatorios ni impredecibles. 

     En cambio si los números se generaran utilizando propiedades como la indeterminación cuántica, sí serían absolutamente aleatorios. Ya se está haciendo, y casinos, bancos, militares o empresas podrían tener gran interés en comprar paquetes de ellos. Vender números aleatorios, un negocio en alza ;).

Las bacterias utilizan la cuántica mejor que nosotros

      La visita termina con Niek van Hulst, quien acaba de publicar un Science explicando que las plantas y bacterias utilizan la coherencia cuántica para extraer energía solar. Lo que Niek ha descubierto tiene un punto rompedor: en coherencia cuántica un sistema formado por varios átomos se comporta como un único sistema cuántico. Eso se ha logrado en condiciones muy restringidas de laboratorio, pero se suponía que en la naturaleza estos sistemas no eran estables. Pues se ve que en ciertos complejos proteínicos involucrados en la fotosíntesis sí lo son, y además utilizan estas propiedades cuánticas para almacenar y transportar energía de manera más eficiente. Algo a estudiar e intentar imitar tecnológicamente, desde luego. La naturaleza demuestra que todavía nos lleva mucha ventaja. 

La ciencia es la gran apuesta

     Almorcé con Lluís Torner, el director y alma de este fabuloso instituto de ciencias fotónicas que nada tiene que envidiar a grandes centros de EEUU o Europa. Lluís explica que de momento a ellos no les está afectando tanto la crisis porque cuentan con mecenazgo y gran parte de su financiación proviene de fondos europeos. Pero a pesar de eso, se muestra preocupadísimo por la situación de la ciencia en España. Percibe que algunas pérdidas causadas por los recortes son irreparables. Esto no es como un edificio que puedes detener su construcción unos meses y retomarla desde el punto que la has dejado. 

     No lo dice Torner sino yo: un país que exporta inteligencia se vuelve menos inteligente. Sin eludir la autocrítica que el sistema de investigación español debería hacer y no hace (de puertas adentro bien que rajan de instituciones y modelos), observar las posibilidades que nos ofrece la ciencia y decidir quedarse al margen es lamentable. “No hay momento malo para hacer algo bueno”, decía el ladrón de cerebros. Ayer en su discurso presentando el plan de cambio climático Obama fue muy contundente: ¿sostenibilidad ambiental vs crecimiento económico? Esta dicotomía es falta y propia de personajillos cortoplacistas poco visionarios. Gracias a la ciencia y la tecnología podemos tener ambos. Si apostamos por ella, claro.

¿CUÁNTAS RAZONES TRIGONOMÉTRICAS "EXISTEN"?

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     Cualquiera que haya llegado al instituto y tenga algo de memoria de aquella época recuerda que una parte del temario de algunos cursos trataba sobre Trigonometría, cuyo significado es medición de triángulos y cuyo objetivo es estudiar las relaciones entre los lados de un triángulo y los ángulos formados por dichos lados, que son lo que se denominan razones trigonométricas.

     Las razones trigonométricas de los ángulos de un triángulo rectángulo eran esas relaciones entre los lados de dicho triángulo rectángulo que tenían nombres tan curiosos como seno, coseno, tangente… ¿Recordáis más? ¿Sabríais representarlas? Echad un ojo, quizás descubráis cosas que no conocíais.

     Comencemos con las más conocidas. Dado un triángulo rectángulo como el de la figura:

     Se define el seno del ángulo como el cateto opuesto a dividido entre la hipotenusa del triángulo. Es decir:

 

     En este contexto, se define el coseno del ángulo como el cateto contiguo a dividido entre la hipotenusa del triángulo:

 

     Y la tangente de se define como el cociente entre el cateto opuesto a dividido entre el cateto contiguo. O, lo que es lo mismo, el cociente entre el seno y el coseno de dicho ángulo:

     Bien, ya tenemos tres. Habitualmente todo esto se representa en una circunferencia de radio 1. Al ser este radio la hipotenusa del triángulo en cuestión, las expresiones de seno y coseno se simplifican, quedando de la siguiente forma:

     ¿Y la tangente cómo se representa? Pues así:

     Trazamos la tangente a la circunferencia en el punto B. Cortará al eje X en un punto, que llamamos E.
 Entonces, la tangente de es la longitud del segmento BE.
 
     Quedaría tal que así:

     Éstas son las más conocidas, las que seguro que muchos recordáis. Pero había más, ¿verdad? Además con nombres muy parecidos a éstas. Sí, son sus recíprocas y son las siguientes:

• Secante:
• Cosecante:
• Cotangente:

     Evidentemente, éstas también tienen su representación. Podemos verlas en la siguiente imagen junto con las tres anteriores:

     Y ya no había más razones trigonométricas, ¿verdad? Al menos en el temario no aparecían más, pero eso de “haber” es muy relativo. ¿”Existen” más razones trigonométricas? Sí, “existen” más. Históricamente se han tenido en cuenta otras razones trigonométricas que por ciertas razones fueron importantes en su momento. Vamos a verlas:

• Verseno:
  Fue una de las razones trigonométricas más importantes (aparecía en algunas de las primeras tablas trigonométricas), pero fue perdiendo “nombre” poco a poco y ahora prácticamente no se usa. Existen varias razones trigonométricas relacionadas con el verseno que se enumeran a continuación.
• Vercoseno:
• Coverseno:
• Covercoseno:
• Semiverseno:
  
       El semiverseno (haversin en inglés) era muy conocido y muy utilizado en navegación por formar parte de la fórmula del semiverseno para el cálculo de la distancia entre dos puntos de una esfera dada las longitudes y las latitudes de los mismos.
• Semivercoseno:
• Semicoverseno:
• Semicovercoseno:

     Casi nada, ¿verdad? Seguro que para la gran mayoría de vosotros estas razones trigonométricas son totalmente nuevas, al igual que ocurrirá con las dos últimas que os voy a presentar:

• Exsecante:
  La exsecante, aunque ya prácticamente no se usa, fue muy importante en agrimensura, astronomía y trigonometría esférica.
• Excosecante:

     Aquí os dejo una imagen con las seis que más se usan actualmente (las seis primeras que se han visto en esta entrada) junto con el verseno, el coverseno, la exsecante y la excosecante:

     Y para terminar una reflexión. Aunque en la actualidad se usan estas seis razones trigonométricas que hemos comentado al principio, y aunque en otras épocas históricas se han usado más (las que hemos presentado después), podríamos decir que en realidad hay solamente una razón trigonométrica “esencial”, y que todas las demás se definen a partir de ella. Por ejemplo, podríamos decir que la única razón trigonométrica “esencial” es el seno, ya que todas las demás pueden construirse a partir de ella. Pero posiblemente en muchas situaciones prácticas sea complicado trabajar con esas “variaciones” del seno y en realidad sea conveniente definir de antemano las demás razones trigonométricas para trabajar directamente con ellas. Como en muchas ocasiones, la cuestión dependerá de en qué estemos trabajando y de para qué vayamos a usar estas herramientas. Como es habitual, la versatilidad de las matemáticas está a nuestro servicio.

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CÓMO CONSTRUIR TRÍANGULOS PITAGÓRICOS

 http://gaussianos.com/como-contruir-triangulos-pitagoricos/

     Ya vimos en este post sobre el último teorema de Fermat que para n mayor que 2 la ecuación no tiene soluciones enteras positivas. Pero sabemos que para el caso n = 2 sí que las hay, de hecho hay infinitas. La proposición del libro Arithmetica de Diofanto que inspiró esta afirmación de Fermat fue precisamente esta, considerada como uno de los problemas más antiguos de las matemáticas.

Escribir un cuadrado como suma de dos cuadrados.

     Es decir, el problema que consiste en encontrar tres números enteros positivos x, y, z que cumplan que . A cada terna de números enteros positivos que cumplan esta ecuación la llamaremos terna pitagórica. Por ejemplo, (3, 4, 5) es una terna pitagórica. Y todo triángulo que cumpla esta relación con sus tres lados números enteros positivos se denomina triángulo pitagórico.

     Mediante el teorema de Pitágoras a partir de dos números enteros positivos x, y podemos encontrar un tercer número z que cumpla esa ecuación simplemente despejando de ella. Pero nada ni nadie nos asegura que ese z sea también entero positivo. Podría ser racional o incluso irracional. En este post vamos a ver un método para encontrar todas las ternas pitagóricas, denominado método analítico, y la demostración del mismo.

Preliminares

 

     El método analítico comienza partiendo de una terna pitagórica (x, y, z). Si estos tres enteros positivos tuvieran algún factor común, digamos d, entonces la terna (x/d, y/d, z/d) también sería una terna pitagórica. Y si dos de ellos tuvieran un factor común entonces ese factor debería serlo también del tercero. Por tanto es suficiente con buscar las ternas pitagóricas que cumplan que sus elementos son primos relativos dos a dos, ya que las demás se formarán multiplicando todos sus elementos por cualquier número entero positivo.

     Por tanto no pueden ser los tres pares, ni siquiera dos de ellos. Y tampoco los tres impares, ya que tendríamos impar + impar = impar, lo cual es imposible. Por tanto debe haber dos impares y uno par. Es sencillo ver que z no puede ser el par, ya que con sencillos cálculos (ejercicio propuesto 1) llegaríamos a impar = par, que sabemos que es imposible. Entonces z debe ser impar, y entre los otros dos debe haber uno impar y otro par. Tomemos x par e y impar.

Desarrollo del método analítico

 

     Rescribimos la ecuación así: . De aquí, usando el famoso producto notable diferencia de cuadrados igual a suma por diferencia llegamos a: . Como los números x, z + y, z – y son todos pares se tiene que existen enteros positivos u, v, w tal que x = 2u, z + y = 2v, z – y = 2w. Entonces . Simplificando obtenemos . Además el máximo común divisor de v y w es 1, es decir, son primos relativos, ya que un divisor común de v y w también lo sería de y y z (ejercicio propuesto 2), lo cual es imposible porque éstos eran primos relativos.

     Tenemos entonces . Y aquí viene el paso clave de la demostración:

Si el producto de dos enteros positivos primos relativos v y w es igual a un cuadrado entonces tanto v como w son cuadrados (ejercicio propuesto 3).

     Por tanto existen enteros positivos p, q tal que y . Además p y q son primos relativos al serlo v y w. Entonces:

     Esto nos dice que p > q, y que p y q son de paridad distinta (es decir, que uno es par y el otro impar), ya que y y z son impares. Usando ahora la primera expresión podemos expresar x fácilmente en términos de p y q:

     Es decir, x = 2pq.

     Lo que hemos obtenido es lo siguiente: dada una terna pitagórica primitiva (x, y, z), existen enteros positivos primos relativos p y q tal que p > q, p y q son de paridad distinta y la terna es una terna pitagórica.

     Esto completa el análisis porque es sencillo mostrar que dado un par de enteros positivos p y q tal que p y q son primos relativos, p > q y p y q de distinta paridad, entonces la terna forma una terna pitagórica primitiva (ejercicio propuesto 4).

Conclusión

 

     El método descrito y los resultados obtenidos resuelven completamente el problema de la construcción de ternas pitagóricas primitivas. Recapitulando:

     Cada terna pitagórica primitiva puede construirse a partir de dos números enteros positivos p y q primos relativos, de distinta paridad y con p > q de la siguiente forma:

 

El resto de ternas pitagóricas se obtienen a partir de alguna de las primitivas multiplicando todos los elementos de la misma por un número.

     Las ternas pitagóricas primitivas que podemos obtener con p menor o igual que 6 son las siguientes:

p	q		x	y	z
2	1		4	3	5
3	2		12	5	13
4	1		8	15	17
4	3		24	7	25
5	2		20	21	29
5	4		40	9	41
6	1		12	35	37
6	5		60	11	61