http://blogs.elpais.com/ayuda-al-estudiante/2013/04/una-belleza-matematica.html
Las
matemáticas no son una asignatura como las demás. Sería muy cómodo decir que
todas son iguales en importancia, pero creo que, como algunos animales de Rebelión
en la granja, de George Orwell, algunas asignaturas son más
iguales que otras. Y las matemáticas
son mucho más iguales que otras.
Eso
no evita la melancólica sospecha de que su utilidad no deja ver a muchos estudiantes ni su
belleza ni su increíble valor intelectual. Por si fuera poco,
el notable problema que tenemos con la manera de enseñarlas explica en parte el
hecho de que tantas personas se alejen emocionalmente de ellas para siempre,
con la excusa de que es una materia demasiado complicada, áspera y casi
inhumana. En este caso, me parece más preocupante la distancia emocional que
las lógicas dificultades intelectuales. Creo que eso causa a los desertores
un gran perjuicio personal, del que solo son conscientes cuando maduran. Pero,
además, ya ha degenerado en un problema social de gran envergadura, por la
creciente falta de competencia matemática en el
mundo profesional (evitemos por un momento acordarnos del diabólico papel de
los matemáticos en Wall Street). Lo cierto es que ahora tenemos un déficit de
matemáticos tan importante al menos como el de afición social a
las matemáticas.
Dejando
al margen a los profesores en concreto, y sin intención de minusvalorar a
nadie, considero que, en términos generales, hay materias
esenciales por su carácter instrumental, asignaturas que se
necesita dominar por sí mismas y porque son absolutamente básicas para el resto
de las materias y para la vida en general. Sin uno falla en ellas, ve
automáticamente disminuida su capacidad para desenvolverse en todo lo demás,
porque, en cierto sentido, son el alfabeto del conocimiento. La lista corta está formada por Lengua (y
Literatura), Matemáticas y, en estos tiempos, el idioma Inglés.
Hay
otras materias muy importantes y destacadas en el programa académico: la Historia, la Física, la Biología, la Geografía, la Química o, crecientemente
en estos tiempos, la Economía
(en sentido amplio). Pienso que deberíamos incluir la Filosofía, pero me temo
que hemos pillado a las autoridades educativas mirando para otra parte.
Podríamos decir que, sin estas materias, uno acabaría viendo el mundo como algo
indescifrable. Y no solo: en la vida adulta, mostrar grandes carencias en
Historia o en Geografía llega a degradar nuestro prestigio personal.
Y
luego hay también materias normales, e incluso marías,
que merecen todo nuestro respeto y pueden ser importantes para unos o para
otros, pero que, hablando en términos generales, están en otro estatus de
relevancia, por lo que se impone la necesidad de establecer prioridades.
Entre
las prioridades de primerísimo nivel, brillan con una extraordinaria luz propia las
cuatro matemáticas. ¿Las cuatro? ¿Qué cuatro?
Permitidme
hablar con cierta soltura de cuatro matemáticas para referirme a los
diversos ámbitos de la materia según su nivel de profundidad. Podríamos
caracterizarlas así:
1.
La que se enseña en colegios e institutos, cuyo nivel de abstracción no es
excesivo, aunque a algunos jóvenes los encuentra en una etapa evolutiva en la
que ocasionalmente llega a exceder su capacidad de razonamiento lógico y
abstracto. A ello se suma el hecho de que, en general, la habilidad y, a veces,
el mero empeño didáctico del profesorado no es precisamente memorable, como si
consideraran que cualquier teorema es autoexplicativo. En cualquier caso, el
destinatario de esa matemática suele considerarla exigente y que no le permite
dejarse llevar.
2.
La que se enseña en las universidades, bastante más compleja y abstracta.
Requiere un buena predisposición, un notable nivel de formación específica y
cierto talento matemático. Vista desde lejos, a veces parece alejarse
del planeta Tierra. Gran parte de ella se utiliza para las otras disciplinas
científicas. Es una matemática refinada, pero de aula y de aplicación científica
y técnica.
3.
La alta matemática es la que se está creando mientras estás leyendo esto en los
centros de investigación, la que producen los matemáticos de nivel
estratosférico. Es prácticamente invisible desde lejos (y casi desde cerca). No
es matemática de aula ni de alumnos, sino de grandes mentes. Su nivel de abstracción
es tal, que frecuentemente el matemático de un despacho no consigue entender lo
que hace el de la puerta de enfrente. Es una matemática extraplanetaria
que tarda algún tiempo en aterrizar y en ser usada, primero por los
matemáticos, luego por otros científicos y más adelante quizá por algunos
mortales. Los afortunados que habitan en ese mundo la consideran a menudo de
una belleza indescriptible que nada tiene que envidiar a una sinfonía de
Beethoven. Seguramente es verdad, pero no está a nuestro alcance, ni tampoco al
de los profesores de matemáticas, ni siquiera de muchos profesores de
universidad. Podemos aplicarle la famosa sentencia diabólica, tan descriptiva: «No la
entenderías si te la explicaran bien. Si la has entendido, te la han explicado
mal».
4.
Forzando las cosas, podríamos hablar de una cuarta, la matemática de diario, la
que utilizamos cuando compramos en las rebajas, comparamos en el supermercado
los precios por kilogramo de productos de distinta marca y diferente peso, o
calculamos el 25% del 40% de una cantidad. Esa se desprende de la matemática
escolar. Es importantísima, y, como la cultura en sí, viene a ser “lo que
recordamos cuando hemos olvidado lo aprendido” (vale decir
"lo que sobrevive a las pérdidas de memoria"): agilidad en las sumas,
restas, multiplicaciones, divisiones, potencias bajas, fracciones básicas,
ecuaciones elementales, porcentajes, reglas de tres y diversas nociones
algebraicas y geométricas. No demasiado, pero de una necesidad absoluta.
Cuál
es el problema? Que muchos de nuestros hijos abordan la matemática escolar tan
asustados como si se tratara de la alta matemática. Sucede
porque al primer esfuerzo de abstracción, casi en la primera fórmula con x
e y, dan por descontado que es una simbología exclusiva para especialistas.
Ante todo lo que no sea un número natural (y bajito) reaccionan alejándose, en
lugar de intentar abrir la puerta. Luego racionalizan su situación diciendo que
no están hechos para las matemáticas, con lo cual firman un divorcio de por
vida. Y sus profesores no hacen demasiado por evitarlo. He
conocido demasiados casos: todos aseguran que sus profesores no se las
enseñaron bien. Es más, no hicieron el esfuerzo.
¿Cuál
es mi consejo? No darse por vencido a la primera. Ni a la segunda. No minusvalorarse.
Los conceptos matemáticos que se ven en clase están al alcance de cualquiera
con la única condición de que se esfuerce. Eso sí, es una carrera que requiere
entrenamiento (ejercicios) y un tirón considerable en los primeros metros. Pero
una vez que avanzamos, la lógica interna y su entramado racional nos
llevan casi en volandas. En otras palabras, la matemática
escolar es un edificio en el que quizá cueste entrar, pero en el que no es
tan difícil orientarse una vez dentro.
El
nivel de abstracción, aunque en el aula no es excesivo, hace que algunos
alumnos crean intuitivamente que basta memorizar sin comprender. Es un tremendo error.
La solución es exactamente la contraria. Las matemáticas son una materia de
mucho razonamiento y muchísimos ejercicios, pero no demasiada memorización. Si
el estudiante memoriza mucho a palo seco y hace muy pocos ejercicios, va
exactamente por el camino equivocado, porque no hay matemáticas escolar
sin lápiz y papel.
Uno
de nuestros principales problemas es el mediocre nivel didáctico general que tiene su
enseñanza. No es que los profesores sean pedagógicamente
limitados, o no más que el resto, pero a muchos les cuesta asumir que lo
importante es cómo el alumno llega a comprender esas ideas tan refinadamente
formalizadas. Se echa de menos un mayor esfuerzo por adaptarse en
las explicaciones, pero también por hacer de la materia algo
atractivo, personalizándola con biografías y trabajos sobre grandes
matemáticos, proyectándola hacia la vida real con ejemplos y con historias. No
basta duplicar una explicación para que cumpla su objetivo.
Uno
de los principales valores educativos de las matemáticas se deriva del hecho de
que se trata una disciplina de radical obediencia a las leyes de la lógica. Eso
quiere decir que constituyen un entrenamiento para pensar de forma
lógica y racional que muy pocas disciplinas ofrecen. ¿Se puede
objetar que no todo en la vida es lógica? Cierto, pero no es ninguna objeción,
porque eso no quita trascendencia al razonamiento lógico en la construcción del
conocimiento.
Además,
las matemáticas forman parte del lenguaje esencial de la ciencia en sus
diversas disciplinas. Mejor sería decir que, en cierto sentido, son el
lenguaje del universo. Todos sabemos que no habría física
sin matemáticas (hasta el punto de que, en ocasiones, las matemáticas casi
parecen el único sustento intelectual de la realidad física). Así que, si
nuestros hijos quieren estudiar una carrera científica, tendrán que dominar al
menos tres idiomas: el matemático, el propio y el inglés. O, pasando a
otras materias que se proclaman científicas (y ya quisieran...), ¿qué sería la
economía sin matemáticas? Por no hablar de la infinidad de cosas que hacemos o
tenemos y que serían una quimera sin matemáticas: pensemos en los ordenadores,
los instrumentales de los quirófanos, las previsiones atmosféricas, los trenes
y los aviones, los hornos de nuestras cocinas, los teléfonos móviles o las
tarjetas de crédito.
Pero
con las matemáticas lo peor no pasa en el aula. Lo peor es que gran parte de
la sociedad ha decidido que las matemáticas no son cultura, con
lo que se ha ido extendiendo la idea de que es posible ser culto teniendo
carencias básicas en matemáticas.
Y ese es un error que acabamos pagando cada uno de
nosotros. Porque las matemáticas son demasiado importantes para dejarlas
exclusivamente en manos de los matemáticos. Son, o deberían ser, uno de
nuestros patrimonios culturales más excelsos.
como el cateto opuesto a 
no tiene soluciones enteras positivas. Pero sabemos que para el caso n =
2 sí que las hay, de hecho hay infinitas. La proposición del libro
Arithmetica de Diofanto que inspiró esta afirmación de Fermat fue
precisamente esta, considerada como uno de los problemas más antiguos de las
matemáticas.
.
A cada terna de números enteros positivos que cumplan esta ecuación la
llamaremos terna pitagórica. Por ejemplo, (3, 4, 5) es una
terna pitagórica. Y todo triángulo que cumpla esta relación con sus tres lados
números enteros positivos se denomina triángulo pitagórico.
.
De aquí, usando el famoso producto notable diferencia de cuadrados igual a
suma por diferencia llegamos a: 
.
Como los números x, z + y, z – y son todos pares se tiene que existen
enteros positivos u, v, w tal que x = 2u, z + y = 2v, z – y =
2w. Entonces 
.
Simplificando obtenemos 
.
Además el máximo común divisor de v y w es 1, es decir, son
primos relativos, ya que un divisor común de v y w también lo
sería de y y z (ejercicio propuesto 2), lo cual es imposible
porque éstos eran primos relativos.
y 
.
Además p y q son primos relativos al serlo v y
w. Entonces:
es una terna pitagórica.
